Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列，
（1）若a_n=3n+1，是否存在m，n∈N*，有a_m+a_m+1=a_k？请说明理由；
（2）若b_n=aqⁿ（a、q为常数，且aq≠0）对任意m存在k，有b_m·b_m+1=b_k，试求a、q满足的充要条件；
（3）若a_n=2n+1，b_n=3ⁿ，试确定所有的p，使数列{b_n}中存在某个连续p项的和式数列中{a_n}的一项，请证明。

Answer 1

解：（1）由，得6m+5=3k+1，
整理后，可得，
∵m、k∈N，
∴k-2m为整数
∴不存在n、k∈N*，使等式成立。
（2）当m=1时，则，
∴，
∴，其中c是大于等于-2的整数，
反之当时，其中c是大于等于-2的整数，则，
显然，其中k=2m+1+c，
∴a、q满足的充要条件是，其中c是大于等于-2的整数。
（3）设，
当p为偶数时，（*）式左边为偶数，右边为奇数；
当p为偶数时，（*）式不成立。
由（*）式得，整理得，
当p=1时，符合题意；
当p≥3，p为奇数时，


，
∴由，
得，
∴当p为奇数时，此时，一定有m和k使上式一定成立；
∴当p为奇数时，命题都成立。