Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=sinx-cosx，求：
（1）f（x）在R上的解析式．
（2）当x＞0时，解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）根据函数是奇函数，即可求f（x）在R上的解析式．
（2）根据三角函数的性质即可解不等式f（x）＞0．

解答：解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
当x＜0，则-x＞0，
∵x＞0时，f（x）=sinx-cosx，
∴f（-x）=-sinx-cosx，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-sinx-cosx=-f（x），
即f（x）=sinx+cosx，x＜0．
故函数的解析式为：f(x)=

sinx-cosx，x＞0 0，x=0 sinx+cosx，x＜0

，
（2）当x＞0时，不等式f（x）＞0，等价为f（x）=sinx-cosx＞0，
即sinx＞cosx，
由三角函数图象可知2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

，k≥0且k∈Z．
即不等式的解集为(2kπ+

π

4

，2kπ+

5

4

π)，k≥0且k∈Z．

点评：本题主要考查函数奇偶性的性质的应用以及不等式的解法，考查学生的运算能力．