Question

求下列函数在指定区间上的最大值与最小值：

(1)f(x)=2^x,x∈［-1,5］;

(2)f(x)=-2x³+3x²+6x-1,x∈［-2,2］;

(3)f(x)=sin³x+cos³x,x∈［0,π］;

(4)f(x)=xlnx,x∈(0,e);

(5)f(x)=x,x∈R.

Answer 1

分析：函数f(x)在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值.因此，在求闭区间［a,b］上的函数最值时，只需求出函数f(x)在（a,b）内的极值，然后与端点处的函数值比较即可.

解：（1）f(x)=2^x在［-1，5］上是增函数，

所以f(x)_max=f(5)=2⁵=32,f(x)_min=f(-1)=2^-1=.

(2)f′(x)=-6x²+6x+6=-6(x²-x-1).

令f′(x)=0,有x²-x-1=0,解得x=或.

x	-2	(-2,)		(,)		(,2)	2
f′(x)		-	0	+	0	-
f(x)	15	↘	极小值	↗	极大值	↘	7

f()=＜7,f()=＜15.

由上表可知，最大值是f(-2)=15,最小值是f(1-52)=5(1-5)2.

(3)f′(x)=3sin²x·cosx-3cos²xsinx=3sinx·cosx(sinx-cosx).

令f′(x)=0,有sinx·cosx·（sinx-cosx）=0,

又x∈［0,π］，所以解得x=0或或.

f（0）=1，f()=1,f()=,f(π)=0.

所以最大值是1，最小值是0.

（4）f′(x)=lnx+1.令f′(x)=0,有lnx+1=0,解得x=e^-1=.

当x→0时，f(x)→0.f(e)=e,f()=-.

所以最大值为f(e)=e,最小值为f()=-.

(5)f′(x)=(x·)′=-2x²·.令f′(x)=0,有2x²=1,所以x=±.

当→∞时，f(x)=→0.

f(-)=-,f()=.

所以最大值为,最小值为-.