Question

已知函数f(x)=(2

3

cosx+sinx)sinx-sin2(

π

2

+x)
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和单调区间；
（Ⅱ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f(

C

2

)=2，c=2且sinB=3sinA，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：利用倍角公式与两角差的正弦公式化成一个角的三角函数形式．
（I）根据正弦函数的单调区间，通过解不等式求得f（x）的增区间和减区间；
（II）利用f（

C

2

）=2求得C=

2π

3

，由sinB=3sinA得b=3a，利用余弦定理求得a，代入三角形的面积公式计算．

解答：解：f(x)=(2

3

cosx+sinx)sinx-sin2(

π

2

+x)=2

3

sinxcosx+sin²x-cos²x=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)．
（I）∵2sin（2x-

π

6

）≤2，∴函数f（x）的最大值为2．
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ⇒-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈z．
∴函数f（x）的单调递增区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，（k∈Z）
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

⇒kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈z，
∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈z．
（II）∵f(

C

2

)=2，∴2sin(C-

π

6

)=2，又-

π

6

＜C-

π

6

＜

5π

6

，
∴C-

π

6

=

π

2

，C=

2π

3

，
∵sinB=3sinA，∴b=3a，
∵c=2，4=a²+9a²-2×a×3acos

2π

3

，∴a²=

4

13

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×3a²sinC=

1

2

×3×

4

13

×

3

2

=

3 3

13

．

点评：本题考查了倍角的三角函数，两角和与差的三角函数，考查了三角函数的单调性及单调区间的求法，考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的运算能力．运用正、余弦定理解三角形关键是判断角的大小和边之间的关系．