Question

16．计算定积分${∫}_{0}^{2}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$+x）dx（　　）

• A． $\frac{π}{2}$+4
• B． π+2
• C． $\frac{π}{2}$+2
• D． π+4

Answer 1

分析 根据积分的几何意义以及常见函数的积分公式进行计算即可．

解答 解：${∫}_{0}^{2}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$+x）dx=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{2x-{x}^{2}}$dx+${∫}_{0}^{2}$xdx
设y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，则y²=2x-x²，
即（x-1）²+y²=1，（0≤x≤2，y≥0），
则y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，表示圆心为（1，0），半径为1的圆的上半部分，对应的面积S=$\frac{1}{2}×π×{1}^{2}$=$\frac{π}{2}$，
即${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{2x-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{2}$，${∫}_{0}^{2}$xdx=$\frac{1}{2}{x}^{2}$|${\;}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}×{2}^{2}=\frac{1}{2}×4=2$，
则${∫}_{0}^{2}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$+x）dx=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{2x-{x}^{2}}$dx+${∫}_{0}^{2}$xdx=$\frac{π}{2}$+2，
故选：C

点评 本题主要考查积分的计算，根据积分的几何意义以及函数的积分公式是解决本题的关键．