Question

已知函数f（x）=lnx．
（1）若函数F（x）=mf（x）+3x-2x²在x=1处取得极值，求函数F（x）的单调区间；
（2）设函数G（x）=f（x）+，若对任意x∈（0，1），都有G（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为函数一个极值点已知，令f′（x）=0，把x=1代入求出m，再利用函数的导数确定函数的单调区间，f′（x）大于零和小于零分别求出递增和递减区间即可；
（2）先把问题转化为m（x）=x²+（2-4a）x+1＜0对x∈（0，1）恒成立，再把m（x）=x²+（2-4a）x+1看成x的二次函数，找到m（x）＜0恒成立的条件，解之即可求实数a的取值范围．
解答：解：（1）函数F（x）=mlnx+3x-2x²，其定义域为（0，+∞）
F'（x）= 由 F'（1）=0 得：m=1    …（2分）
∴F'（x）==
当x∈（0，1），F'（x）＞0，函数F（x）单调递增，
当x∈（1，+∞），F'（x）＜0，函数F（x）单调递减，
∴函数F（x）的单调递增区间为（0，1）；函数F（x）的单调递减区间为（1，+∞）…（6分）
（2）∵G'（x）=               …（7分）
设m（x）=x²+（2-4a）x+1，方程m（x）=0的判别式△=16a（a-1）．
若a∈（0，1]，△≤0，m（x）≥0，G'（x）≥0，G'（x）在（0，1）上是增函数，
又G（1）=0，所以x∈（0，1），G（x）＜0．…（9分）
若a∈（1，+∞），∵△＞0，m（0）=1＞0，m（1）=4（1-a）＜0，
∴g（x）在（0，1）上不是单调函数．
所以存在x∈（0，1），使得m（x）=0，对任意x∈（x，1），m（x）＜0，
即G'（x）＜0，G（x）在（x，1）上是减函数，
又G（1）=0，所以x∈（x，1），G（x）＜0．不合题意．
综上，实数a的取值范围是（0，1]…（12分）
点评：考查函数在某点取得极值的条件、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值，属于中档题．