Question

已知二次函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）
（1）若方程f（x）=0无实根，求证：b＞0；
（2）若方程f（x）=0有两个实根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f（-a）=

1

4

（a²-1）．

Answer 1

分析：（1）只需要转化为相应方程的根的问题即可解答．
（2）充分利用函数与方程的思想，在对应方程当中利用韦达定理即可解答．

解答：解：（1）若方程f（x）=0无实根，则△=a²-4b＜0，b＞

a2

4

，∴b＞0．
（2）证明：设f（x）=（x-m）（x-m-1），m∈Z，
则由一元二次方程个与系数的关系可得 2m+1=-a，m（m+1）=b，故b=

1

4

（a2-1），
所以f（-a）=b=

1

4

（a2-1）．

点评：此题考查了零点概念、代数恒等变形、含参数的二次函数等知识，是对二次函数性质比较综合和深刻的考查．在解答过程当中问题转化的能力以及数形结合的思想得到了淋漓尽致的考查，值得同学们体会反思，属于中档题．