Question

（2009•成都模拟）已知函数f（x）=

3

sinxcosx-sin²x+

1

2

，x∈R，
（I）求函数f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值时自变量x的集合；
（Ⅱ）设g（x）=f（x+

π

6

），试判断函数g（x）的奇偶性．

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式与辅助角公式将f（x）=

3

sinxcosx-sin²x+

1

2

，x∈R，转化为f（x）=sin（2x+

π

6

），从而可求函数f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值时自变量x的集合；
（2）求得g（x）=f（x+

π

6

）=cos2x，再用奇偶函数的定义判断．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

sinxcosx-sin²x+

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin（2x+

π

6

），
∴函数f（x）的最小正周期T=π　　　　…（4分）
当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=kπ+

π

6

（k∈Z）时，f（x）_max=1，
∴当f（x）取得最大值时自变量x的集合为{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}；　　　…（2分）
（Ⅱ）g（x）=f（x+

π

6

）=sin[2（x+

π

6

）+

π

6

]=cos2x，…（3分）
又g（-x）=cos（-2x）=cos2x=g（x），
∴g（x）是偶函数．　　　　　　　…（3分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，着重考查三角函数的倍角公式与辅助角公式、正弦函数的定义域和值域及三角函数的周期性及其求法，属于中档题．