Question

（本小题满分12分）已知函数 .

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：.

 

Answer 1

【答案】

（1）在单调递增，在单调递减.（2）；（3）见解析.

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。那么利用先求函数定义域，然后求解导数，根据导数的正负判定函数的单调性

第二问中，当p=1时，f(x)《kx恒成立等价于1+lnx《kx,然后分离参数的思想得到k》(1+lnx)/x,构造函数得到参数k的范围。

第三问中，要证明不等式成立，则需要分析由（2）知当k=1时，有f(x)《x，当x>>1时，f(x)《x即lnx<x-1，结合放缩法得到证明。

解：（1）的定义域为（0，+∞），

当时，＞0，故在（0，+∞）单调递增；

当时，＜0，故在（0，+∞）单调递减；……………2分

当-1＜＜0时，令=0，解得.

则当时，＞0；时，＜0.

故在单调递增，在单调递减. …………4分

（2）因为，所以

当时，恒成立

令，则,               ……………6分

因为，由得，

且当时，；当时，.

所以在上递增，在上递减.所以，

故                               ……………………8分

（3）由（2）知当时，有，当时，即，

令，则，即      …………10分

所以，，…，，

相加得

而

所以，.……………………12分