Question

已知椭圆C经过点M，其左顶点为N，两个焦点为（-1，0），（1，0），平行于MN的直线l交椭圆于A，B两个不同的点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意设出椭圆方程，把点M的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件a²=b²+c²可求解a²，b²，则椭圆的方程可求；
（Ⅱ）由椭圆方程求出顶点N的坐标，求出MN的斜率，设出直线l的斜截式方程，和椭圆联立后利用根与系数的关系求出A，B两点的横坐标的和与积，由两点式写出MA和MB的斜率，作和后化为含有直线l的截距的代数式，整理得到结果为0，所以结论得证．
解答：（Ⅰ）解：设椭圆的方程为（a＞b＞0），因为过点，
所以 ①
又c=1，所以a²=b²+c²=b²+1 ②
由①②可得a²=4，b²=3．
故椭圆C的方程为；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，所以．
故设直线l：，
联立，得x²+mx+m²-3=0．
∴．
∴
=
==1-1=0．
故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法和学生的计算能力，属难题．