Question

f（x）=log_a（x³-ax）（a＞0，a≠1）在区间(-

1

2

，0)内单调递增，则a的最小值是

3

4

．

Answer 1

分析：本题为复合函数，令g（x）=x³-ax，且g（x）＞0，得x∈（-

a

，0）∪（

a

，+∞），下面用导数来判断其单调性，再由复合函数“同增异减”求得结果．

解答：解：令g（x）=x³-ax，则g（x）＞0．得到 x∈（-

a

，0）∪（

a

，+∞），
由于g′（x）=3x²-a，故x∈（-

a 3

，

a 3

）时，g（x）单调递减，?
x∈（-∞，-

a 3

）或x∈（

a 3

，+∞）时，g（x）单调递增．?
∴当a＞1时，减区间为（-

a 3

，0），?不合题意，
当0＜a＜1时，（-

a 3

，0）为增区间．?
∴（-

1

2

，0）?（-

a 3

，0），∴-

1

2

≥-

a 3

，∴a≥

3

4

．
故a的最小值为

3

4

故答案为：

3

4

点评：本题考查复合函数的单调性，结论是同增异减，解题时一定要注意定义域，属中档题．