Question

若：p＞0,q＞0,p³+q³≤2.证明p+q≤2.

Answer 1

思路分析：由于本题不易从正面直接入手，可以利用互为逆否命题的等价性，间接证明；应首先写出它的逆否命题，然后证明逆否命题正确，从而原命题成立.

证明：假设p+q＞2，因为p＞0,q＞0,所以（p+q）³ =p³+3p²q+3pq² +q³＞8.

因为p³+q³=2，代入上式得3pq（p+q）＞6，即pq（p+q）＞2.①

由p³+q³=2得（p+q）(p²-pq+q²)=2.②

由①②得pq（p+q）＞(p+q）(p²-pq+q²).

因为p+q＞0，所以pq＞p²-pq+q²，所以p²-2pq+q²＜0，即（p+q）²＜0，这不可能.

即假设p+q＞2不成立，故p+q≤2成立.