题目内容
已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的两准线间距离为6，离心率e=
．过椭圆上任意一点P，作右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得
=λ
(λ＞0)．F2为该椭圆的右焦点，设点P的坐标为（x0，y0）．
（1）求椭圆方程；
（2）当点P在椭圆上运动时，求λ的值使得点Q的轨迹是一个定圆．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
| PH |
| HQ |
（1）求椭圆方程；
（2）当点P在椭圆上运动时，求λ的值使得点Q的轨迹是一个定圆．
分析：（1）利用椭圆
+
=1（a＞b＞0）的两准线间距离为6，离心率e=
，建立方程组，求得几何量，从而扩大椭圆的方程；
（2）利用向量知识，确定P的坐标，结合椭圆方程，利用点Q的轨迹是一个定圆，即可求λ的值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
（2）利用向量知识，确定P的坐标，结合椭圆方程，利用点Q的轨迹是一个定圆，即可求λ的值．
解答：解：（1）∵椭圆
+
=1（a＞b＞0）的两准线间距离为6，离心率e=
，
∴
，∴a=
，c=1，∴b=
=
∴所求椭圆方程为
+
=1…（6分）
（2）设Q的坐标为（x，y），H（3，y0），∴y=y0．
∵
=λ
(λ＞0)，∴3-x0=λ（x-3），∴x0=3λ+3-λx…（9分）
又∵
+
=1，∴
+
=1，即
+
=1…（12分）
∴当且仅当
=2，即λ=
时，点Q在定圆(x-3-
)2+y2=2上．…（15分）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
∴
|
| 3 |
| a2-c2 |
| 2 |
∴所求椭圆方程为
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 2 |
（2）设Q的坐标为（x，y），H（3，y0），∴y=y0．
∵
| PH |
| HQ |
又∵
| x02 |
| 3 |
| y02 |
| 2 |
| (3λ+3-λx)2 |
| 3 |
| y2 |
| 2 |
(x-
| ||
|
| y2 |
| 2 |
∴当且仅当
| 3 |
| λ2 |
| ||
| 2 |
| 6 |
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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