Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a₂=2，且点（S_n，S_n+1）在直线y=kx+1上
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求证：{a_n}是等比数列；
（Ⅲ）记T_n为数列{S_n}的前n项和，求T₁₀的值．

Answer 1

（1）S_n+1=k•S_n+1，令n=1有，S₂=k•S₁+1，∴a₁+a₂=k•a₁+1．代入a₁=1，a₂=2有k=2．
（2）∵S_n+1=2S_n+1，∴S_n=2S_n-1+1（n≥2）．
两式相减有，a_n+1=2a_n，即，

an+1

an

=2．且

a2

a1

=2符合．
∴{a_n}为公比为2的等比数列．
(3)Sn=

1-2n

1-2

=2n-1
∴T10=(2+22+23++210)-10=

2(1-210)

1-2

-10=2036.