Question

已知函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0， ω＞0， |φ|＜

π

2

的图象过点P(

π

12

， 0)，且图象上与P点最近的一个最高点坐标为(

π

3

， 5)．
（1）求函数的解析式；  
（2）指出函数的增区间；
（3）若将此函数的图象向左平行移动

π

6

个单位长度后，再向下平行移动2个单位长度得到g（x）的图象，求g（x）在x∈[-

π

6

， 

π

3

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由已知可得A=5，T=

2π

ω

=π，ω=2；由5sin（2×

π

12

+φ）=0⇒

π

6

+φ=0，于是可求得函数的解析式； 
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）即可求得函数的增区间；
（3）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换知g（x）=5sin[2（x+

π

6

）-

π

6

]-2=5sin（2x+

π

6

）-2，-

π

6

≤x≤

π

3

⇒-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，利用正弦函数的单调性与最值即可求得g（x）的值域．

解答：解：（1）由已知可得A=5，

T

4

=

π

3

-

π

12

=

π

4

，
∴T=

2π

ω

=π，
∴ω=2；
∴y=5sin（2x+φ），
由5sin（2×

π

12

+φ）=0得，

π

6

+φ=0，
∴φ=-

π

6

，
∴y=5sin（2x-

π

6

）；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，
得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
∴该函数的增区间是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（3）g（x）=5sin[2（x+

π

6

）-

π

6

]-2=5sin（2x+

π

6

）-2，
∵-

π

6

≤x≤

π

3

，
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴-

9

2

≤g（x）≤3，
∴g（x）的值域为[-

9

2

，3]．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的确定与其图象变换，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．