Question

若a、b是方程2（lgx）²-lgx⁴+1=0的两个实根，求lg（ab）•（log_ab+lob_ba）的值．

Answer 1

分析：设t=lg x，则方程化为2t²-4t+1=0，由题意可得lg a+lg b=2，lga•lgb=

1

2

 ①．利用对数的运算性质
化简lg（ab）•（log_ab+log_ba）为 （lg a+lgb）•

(lga+lgb)2-2lgalgb

lgalgb

，把①代入从而求得结果．

解答：解　原方程可化为2（lg x）²-4lg x+1=0．
设t=lg x，则方程化为2t²-4t+1=0，∴t₁+t₂=2，t₁•t₂=

1

2

．
又∵a、b是方程2（lg x）²-lg x⁴+1=0的两个实根，∴t₁=lg a，t₂=lg b，
即lg a+lg b=2，lg a•lg b=

1

2

．
∴lg （ab）•（log_ab+log_ba）=（lga+lgb）•（

lgb

lga

+

lga

lgb

）
=（lg a+lgb）•

(lgb)2+(lga)2

lga•lgb

=（lg a+lg b）•

(lga+lgb)2-2lgalgb

lgalgb

=12，
即 lg（ab）•（log_ab+log_ba）=12．

点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，对数的运算性质的应用，属于中档题．