Question

已知⊙C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0
（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；
（2）求弦AB中点M轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？
（3）若定点P（1，1）分弦AB为

PB

=2

AP

，求l方程．

Answer 1

分析：（1）利用圆心到直线的距离小于半径，判定，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；
（2）设出弦AB中点M，求出直线L，利用弦的中点与圆心连线与割线垂直，求出轨迹方程．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程利用韦达定理，以及定点P（1，1）分弦AB为

PB

=2

AP

，求出A 的坐标，代入圆的方程，求出m，即可求l方程．

解答：解：（1）圆心C（0，1），半径r=

5

，则圆心到直线L的距离d=

|-m|

1+m2

＜1，
∴d＜r，∴对m∈R直线L与圆C总头两个不同的交点；（或用直线恒过一个定点，且这个定点在圆内）（4分）
（2）设中点M（x，y），因为L：m（x-1）-（y-1）=0恒过定点P（1，1）
斜率存在时则kAB=

y-1

x-1

，又kMC=

y-1

x

，k_AB•K_NC=-1，
∴

y-1

x-1

•

y-1

x

=-1，整理得；x²+y²-x-2y+1=0，
即：(x-

1

2

)2+(y-1 )2=

1

4

，表示圆心坐标是（

1

2

，1），半径是

1

2

的圆；
斜率不存在时，也满足题意，
所以：(x-

1

2

)2+(y-1 )2=

1

4

，表示圆心坐标是（

1

2

，1），半径是

1

2

的圆．（4分）
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）解方程组

mx-y+1-m=0 (y-1)2+x2=5

得（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，
∴x1+x2=

2m2

1+m2

，①
又

PB

=2

AP

∴（x₂-1，y₂-1）=2（1-x₁，1-y₁），
即：2x₁+x₂=3②
联立①②解得x1=

3+m2

1+m2

，则y1=

(m+1)2

1+m2

，即A（

3+m3

1+m2

，

(m+1)2

1+m2

）
将A点的坐标代入圆的方程得：m=±1，
∴直线方程为x-y=0和x+y-2=0

点评：本题考查点到直线的距离公式，直线的一般式方程，轨迹方程，直线和圆的方程的应用，考查转化思想，考查分析问题解决问题的能力，计算能力，是中档题．