Question

已知向量

m

=(cosx，-sinx)，

n

=(cosx，sinx-2

3

cosx)，x∈R，设f(x)=

m

•

n

．
（1）求函数f（x）的最小正周期．
（2）若f(x)=

24

13

，且x∈[

π

4

，

π

2

]，求sin2x的值．

Answer 1

分析：（1）根据f(x)=

m

•

n

，结合向量

m

=(cosx，-sinx)，

n

=(cosx，sinx-2

3

cosx)，我们易得函数f（x）的解析式，利用辅助角公式将其化为正弦型函数的形式，再利用T=

2π

ω

，即可求出函数的最小正周期．
（2）由（1）中函数解析式，根据f(x)=

24

13

，我们可求出sin（2x+

π

6

）的值，结合x∈[

π

4

，

π

2

]，我们还可以求出cos（2x+

π

6

）的值，根据sin2x=sin[（2x+

π

6

）-

π

6

]代入两名差的正弦公式，即可求出答案．

解答：解：（1）∵f(x)=

m

•

n

=cos²x-sin²x+2

3

sinxcosx=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π
（2）∵f（x）=

24

13

，
∴sin（2x+

π

6

）=

12

13

又∵x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴cos（2x+

π

6

）=-

1- 12 13

=-

5

13

即sin2x=sin[（2x+

π

6

）-

π

6

]
=sin（2x+

π

6

）cos

π

6

-cos（2x+

π

6

）sin

π

6

=

12

13

×

3

2

-（-

5

13

）×

1

2

=

12 3 +5

26

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，二倍角公式，辅助角公式，最小正周期的求法，给值求值及两角差的正弦公式，处理的关键（1）中要将函数的解析式化为正弦型函数；（2）中要分析已知角与未知角之间的关系，以选取恰当的公式．