Question

当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆

x2

16

+

y2

9

=1有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象．

Answer 1

分析：直线与椭圆的交点适合下面方程组：

y=x+m ① x2 16 + y2 9 =1②

，①代入②得

x2

16

+

(x+m)2

9

=1，其判别式为△=576（25-m²）．由此可知直线与椭圆有一个交点的充要条件是m=±5，这时直线与椭圆相切．直线与椭圆有两个交点的充要条件是：-m²+25＞0即|m|＜5，这时直线与椭圆相割．直线与椭圆没有交点的充要条件是：-m²+25＜0，即|m|＞5．

解答：解：直线与椭圆的交点适合下面方程组：

y=x+m ① x2 16 + y2 9 =1②

将①代入②得

x2

16

+

(x+m)2

9

=1，
整理可得25x²+32mx+（16m²-144）=0，
其判别式为△=（32m）²-4•25•（16m²-144）=576（25-m²）
直线与椭圆有一个交点的充要条件是m=±5，
这时直线与椭圆相切．
直线与椭圆有两个交点的充要条件是：-m²+25＞0即|m|＜5，
这时直线与椭圆相割．
直线与椭圆没有交点的充要条件是：-m²+25＜0，即|m|＞5．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．