题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ ．
（1）求y=f（x）在[-4，- $数学公式$ ]上的最值；
（2）若a≥0，求g（x）= $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ 的极值点．

解：（1）f′（x）=- $\text{[math]}$ ．
令f′（x）＞0，得-3＜x＜-1，
令f′（x）＜0，得x＜-3，-1＜x＜0，x＞0．
列出x，f′（x），f（x）的变化情况表

x	-4	（-4，-3）	-3	（-3，-1）	-1	（-1，- $\text{[math]}$ ）	- $\text{[math]}$
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	- $\text{[math]}$	?	极小值 - $\text{[math]}$		极大值0		-2

∴最大值为0，最小值为-2．
（2）g′（x）=- $\text{[math]}$ ；
设u=x²+4x+3a．
△=16-12a，
①当a≥ $\text{[math]}$ 时，△≤0，g′（x）≤0，所以y=g（x）没有极值点
②当0＜a＜ $\text{[math]}$ 时，x₁=-2- $\text{[math]}$ ，x₂=-2+ $\text{[math]}$ ＜0．
减区间：（-∞，x₁），（x₂，0），（0，+∞），增区间：（x₁，x₂）．
∴有两个极值点x₁，x₂．
③当a=0时，g（x）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，g′（x）=- $\text{[math]}$ ．
减区间：（-∞，-4），（0，+∞），增区间：（-4，0）．
∴有一个极值点x=-4．
综上所述：a=0时，有一个极值点x=-4；
0＜a＜ $\text{[math]}$ 时有两个极值点x=-2± $\text{[math]}$ ；
a≥ $\text{[math]}$ 时没有极值点．
分析：（1）求出f（x）的导函数，令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0求出x的范围，列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，由表得到函数的最值．
（2）求出f（x）的导函数，通过判断导函数等于0根的情况，对参数a进行分类讨论，求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值．
点评：求函数在闭区间上的最值，一般利用导数求出函数的极值，再求出闭区间的两个端点值，从中选出最值；求函数的极值，一般令导函数等于0求出根，再判断根左右两边的导函数符号是否异号．