Question

双曲线的一条渐近线方程是，坐标原点到直线AB的距离为，其中A（a，0），B（0，-b）．
（1）求双曲线的方程；
（2）若B₁是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过点B作直线交双曲线于点M，N，求时，直线MN的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由A（a，0），B（0，-b），设直线AB：，故，由此能求出双曲线方程．
（2）由双曲线方程为：，知，设P（x，y），则==3．由B（0，-3）B₁（0，3），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设直线l：y=kx-3，则，由此入手能求出直线MN的方程．
解答：解：（1）∵A（a，0），B（0，-b），∴设直线AB：
∴，∴，
∴双曲线方程为：．
（2）∵双曲线方程为：，
∴，设P（x，y），
∴，，
∴==3．
B（0，-3）B₁（0，3），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∴设直线l：y=kx-3，
∴，
∴3x²-（kx-3）²=9．
（3-k²）x²+6kx-18=0，
∴


k²=5，即代入（1）有解，
∴．
点评：本题考查双曲线方程和直线方程的求法，解题时要认真审题，注意直线与双曲线位置关系的灵活运用，合理地进行等价转化．