Question

3．已知函数f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{6}$）（A＞0，ω＞0）图象的一部分如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设α，β∈[-$\frac{π}{2}$，0]，f（3α+π）=$\frac{10}{13}$，f（3β+$\frac{5π}{2}$）=$\frac{6}{5}$，求sin（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）由图象可得A，T，由周期公式可求ω，从而可求函数f（x）的解析式；
（2）由f（3α+π）=$\frac{10}{13}$，可求cosα，又由f（3$β+\frac{5π}{2}$）=$\frac{6}{5}$，可求sinβ，结合角的范围可求sinα，cosβ，由两角差的正弦函数公式即可得解．

解答 解：（1）由图象可知A=2，…（1分）
∵$\frac{3}{4}$T=$\frac{11π}{2}-π$=$\frac{9π}{2}$，∴T=6$π=\frac{2π}{ω}$，∴$ω=\frac{1}{3}$．…（3分）
∴f（x）=2sin（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$）．…（4分）
（2）∵f（3α+π）=2sin（$α+\frac{π}{2}$）=2cosα=$\frac{10}{13}$，∴cos$α=\frac{5}{13}$，…（6分）
又∵f（3$β+\frac{5π}{2}$）=2sin（β+π）=-2sinβ=$\frac{6}{5}$，
∴sin$β=-\frac{3}{5}$，…（8分）
∵$α，β∈[-\frac{π}{2}，0]$，
∴sin$α=-\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=-$\sqrt{1-（\frac{5}{13}）^{2}}$=-$\frac{12}{13}$，
cosβ=$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=$\sqrt{1-（-\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$．…（10分）
∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=（-$\frac{12}{13}$）×$\frac{4}{5}-\frac{5}{13}×（-\frac{3}{5}）$=-$\frac{33}{65}$． …（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，两角差的正弦函数公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．