Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+(cosA-

3

sinA)cosB=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=2，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知等式左边第一项利用诱导公式及两角和与差的余弦函数公式化简，第二项去括号整理后，根据sinA不为0，求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，将a+c以及cosB的值代入，用a表示出c代入得到的关系式中，利用二次函数的性质求出b²的范围，即可确定出b的范围．

解答：解：（1）由已知变形得：-cos（A+B）+cosAcosB-

3

sinAcosB=0，
即有sinAsinB-

3

sinAcosB=0，
∵sinA≠0，
∴sinB-

3

cosB=0，
又cosB≠0，
∴tanB=

3

，
又0＜B＜π，
∴B=

π

3

；
（2）由余弦定理，有b²=a²+c²-2accosB，
∵a+c=2，cosB=

1

2

，
∴b²=（a+c）²-3ac=4-3ac=4-3a（2-a）=3a²-6a+4=3（a-1）²+1，
又0＜a＜2，
∴1≤b²＜4，
则1≤b＜2．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．