Question

已知函数f(x)=loga

1-m(x-2)

x-3

(a＞0，a≠1)，
对定义域内的任意x都有f（2-x）+f（2+x）=0成立．
（1）求实数m的值；
（2）当x∈（b，a）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求实数a，b的值．

Answer 1

分析：（1）先由条件：“f（2-x）+f（2+x）=0”得：loga

1+mx

-x-1

+loga

1-mx

x-1

=0化简得：（m²-1）x²=0对定义域内的任意x成立，即可求得m 值；
（2）先写出f（x）的表达式：f(x)=loga

x-1

x-3

，由f（x）的取值范围恰为（1，+∞），对a进行分类讨论：当0＜a＜1时，当a＞1时，分别求得实数a，b的值即可．

解答：解：（1）由条件得：loga

1+mx

-x-1

+loga

1-mx

x-1

=0〔（1分）〕
∴（m²-1）x²=0对定义域内的任意x成立〔（3分）〕
∴m²-1=0〔（4分）〕
∴m=1或m=-1〔（5分）〕
当m=1时不成立
∴m=-1〔（7分）〕
（2）f(x)=loga

x-1

x-3

由f（x）的取值范围恰为（1，+∞），
当0＜a＜1时，y=

x-1

x-3

x∈（b，a）的值域为（0，a），〔（8分）〕
函数y=

x-1

x-3

在x∈（b，a）上是减函数，所以

a-1

a-3

=0，这是不可能的．〔（10分）〕
当a＞1时，y=

x-1

x-3

x∈（b，a）的值域为（a，+∞），〔（11分）〕
所以，函数y=

x-1

x-3

在x∈（b，a）上是减函数，并且b=3〔（13分）〕
所以，

a-1

a-3

=a，解得a=2+

3

〔（15分）〕
综上：a=2+

3

，b=3〔（16分）〕

点评：本小题主要考查对数函数图象与性质的综合应用，考查运算求解能力，（2）问解答关键是对a分类讨论后应用函数的单调性．