题目内容
设平面向量
=（cosx，sinx），
=（
，
），函数f（x）=
•
+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；
（Ⅱ）当f（a）=
，且
＜a＜
时，求sin（2a+
）的值．
| a |
| b |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
（Ⅰ）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；
（Ⅱ）当f（a）=
| 9 |
| 5 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
分析：（Ⅰ）根据数量积的坐标运算，求出函数f（x）的表达式，然后利用三角函数的图象和性质求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；
（Ⅱ）根据正弦函数的二倍角公式进行计算即可．
（Ⅱ）根据正弦函数的二倍角公式进行计算即可．
解答：解：依题意f（x）=
•
+1=（cosx，sinx）•（
，
）=
cosx+
sinx+1=sin（x+
）+1，
（Ⅰ）∵sin（x+
）∈[-1，1]，
∴sin（x+
）+1∈[0，2]，
即函数f（x）的值域是[0，2]．
令-
+2kπ≤x+
≤
+2kπ，
解得-
+2kπ≤x≤
+2kπ，
∴函数f（x）的单调增区间为[-
+2kπ，
+2kπ]（k∈Z）．
（Ⅱ）由f（a）=
得sin（a+
）+1=
，得sin（a+
）=
，
∵
＜a＜
，
∴
＜a+
＜π，
得cos（a+
）=-
，
∴sin（2a+
）=sin2（a+
）=2sin（a+
）cos（a+
）=-2×
×
=-
．
| a |
| b |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（Ⅰ）∵sin（x+
| π |
| 3 |
∴sin（x+
| π |
| 3 |
即函数f（x）的值域是[0，2]．
令-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
解得-
| 5π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∴函数f（x）的单调增区间为[-
| 5π |
| 6 |
| π |
| 6 |
（Ⅱ）由f（a）=
| 9 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 9 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
∵
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
得cos（a+
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
∴sin（2a+
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 24 |
| 25 |
点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数量积的坐标公式求出函数f（x）的表达式是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的公式．
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