Question

已知f（x）=-3x²+a（5-a）x+b
（1）当不等式f（x）＞0的解集为（-1，3）时，求实数a，b的值；
（2）若对任意实数a，f（2）＜0恒成立，求实数b的取值范围；
（3）设b为已知数，解关于a的不等式f（1）＜0．

Answer 1

分析：（1）由题意知，-1和3是方程-3x²+a（5-a）x+b=0 的两个根，由根与系数的关系得

-1+3= a(5-a) 3 -1•3= b -3

，解之可得结果．
（2）若f（2）＜0恒成立，可根据二次不等式恒成立的条件，构造关于b的不等式，解不等式可求出实数b的取值范围；
（3）由b为已知数，可得关于a的二次不等式，分类讨论后，综合讨论结果，可得答案．

解答：解：（1））∵不等式-3x²+a（5-a）x+b＞0的解集为（-1，3），
∴-1和3是方程-3x²+a（5-a）x+b=0 的两个根，
∴

-1+3= a(5-a) 3 -1•3= b -3

解得：

a=2 b=9

，或

a=3 b=9

（2）若对任意实数a，f（2）＜0恒成立，
则-12+2a（5-a）+b＜0恒成立，
即-2a²+10a+b-12＜0恒成立，
则100+8（b-12）＜0
解得b＜-

1

2

（3）∵f（1）=-3+a（5-a）+b=-a²+5a+b-3，
∵f（1）＜0，
∴a²-5a+3-b＞0．
△=13+4b，
当△＜0，即b＜-

13

4

时，f（1）＜0 的解集为R；
当b≥-

13

4

时，a＜

5- 13+4b

2

，或a＞

5+ 13+4b

2

，
此时f（1）＜0的解集为{a|a＜

5- 13+4b

2

，或a＞

5+ 13+4b

2

}．

点评：本题考查一元二次不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，体现了分类讨论的数学思想．