Question

（2012•通州区一模）已知函数f（x）=lnx-a²x²+ax（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）最大值；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入函数，利用导数判断出函数的单调性，进而可求出函数f（x）最大值；
（2）对参数a进行讨论，然后利用导数f′（x）≤0（注意函数的定义域）来解答，方法一是先解得单调减区间A，再与已知条件中的减区间（1，+∞）比较，即只需要（1，+∞）⊆A即可解答参数的取值范围；方法二是要使函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，我们可以转化为f′（x）≤0在区间（1，+∞）上恒成立的问题来求解，然后利用二次函数的单调区间于对称轴的关系来解答也可达到目标．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞），---------（1分）
∴f′(x)=

1

x

-2x+1=-

2x2-x-1

x

-------------------（2分）
令f'（x）=0，即-

2x2-x-1

x

=0，解得x=-

1

2

或x=1．
∵x＞0，∴x=-

1

2

舍去．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-1²+1=0．---（6分）
（2）法一：因为f（x）=lnx-a²x²+ax其定义域为（0，+∞），
所以f′(x)=

1

x

-2a2x+a=

-2a2x2+ax+1

x

=

-(2ax+1)(ax-1)

x

①当a=0时，f′(x)=

1

x

＞0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意----------（8分）
②当a＞0时，f'（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax-1）＞0（x＞0），即x＞

1

a

．
此时f（x）的单调递减区间为(

1

a

，+∞)．
依题意，得

1 a ≤1 a＞0.

解之得a≥1．-------------------（12分）
③当a＜0时，f'（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax-1）＞（x＞0），即x＞

1

2a

•
此时f（x）的单调递减区间为(-

1

2a

，+∞)，
∴

- 1 2a ≤1 a＜0.

得a≤-

1

2

（14分）
综上，实数a的取值范围是(-∞，-

1

2

]∪[1，+∞)-----------（16分）
法二：∵f（x）=lnx-a²x²+ax，x∈（0，+∞）
∴f′(x)=

-2a2x2+ax+1

x

由f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，可得-2a²x²+ax+1≤0在区间（1，+∞）上恒成立．--------------8分
①当a=0时，1≤0不合题意----------------------------------10
②当a≠0时，可得

1 4a ＜1 f(1)≤0

即

a＞ 1 4 或a＜0 -2a2+a+1≤0

∴

a＞ 1 4 或a＜0 a≥1或a≤- 1 2

-----------14分
∴a∈(-∞，-

1

2

]∪[1，+∞)----------------------------------16分

点评：本题以函数为载体，综合考查利用函数的导数来解决有关函数的单调性、最值等问题的能力，考查已知函数的单调性的条件下怎样求解参数的范围问题，考查分类讨论，函数与方程，配方法等数学思想与方法．