题目内容

设各项均为正数的数列{an}满足.

（Ⅰ）若求a3,a4,并猜想a2008的值（不需证明）;

（Ⅱ）若对n≥2恒成立，求a2的值.

解：（I）因a1=2,  a2=2-2,故

   

由此有, , ,,……

从而猜想an的通项为

,

所以

（Ⅱ）令xn=log2an.则,故只需求x2的值。

   设Sn表示xn的前n项和，则a1a2…an=,由2≤a1a2…an＜4得

   ≤Sn＝x1+x2+…+xn＜2（n≥2）.

因上式对n=2成立，可得≤x1+x2，又由a1=2,得x1＝1,故x2≥.

由于a1=2，（n∈N*）,得（n∈N*）,即

，

因此数列｛xn+1+2xn｝是首项为x2+2,公比为的等比数列，故

xn+1+2xn=（x2+2） （n∈N*）.

将上式对n求和得

Sn+1－x1+2Sn=（x2+2）（1++…+）=（x2+2）（2－）（n≥2）.

因Sn＜2，Sn+1＜2（n≥2）且x1=1,故

（x2+2）（2－）＜5（n≥2）.

因此2x2－1＜（n≥2）.

下证x2≤，若不然，假设x2＞，则由上式知，不等式

2n－1＜

对n≥2恒成立，但这是不可能的，因此x2≤.

又x2≥，故x2=，所以a2=2=.

练习册系列答案
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2
．
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2
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4a1+5
；
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1
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+
1
a2a3
+…+
1
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1
2
．
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1
4
a
2
n
+
1
2
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an
2n
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