Question

【题目】设函数，曲线在点处的切线方程为.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）当时，若为整数，且，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），,（Ⅱ）2

【解析】

（Ⅰ）根据导数的几何意义，列方程组，求解即可.

（Ⅱ）将变形整理为，即（），令，，令，则，函数在单调递增，从而确定在存在唯一的零点，设此零点为，则并且，即，再判断的单调性，确定在的最小值为，求解的最大值即可.

（Ⅰ）由，

由于的斜率为1，且过点得，

即解得，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

所以得，.

故当时，等价于（）①

令，则

令，∵，∴

所以函数在单调递增．

而，，所以在存在唯一的零点

故在存在唯一的零点，设此零点为，则．

当时，，减函数；

当时，，增函数；

所以在的最小值为，

又由，可得，所以，

故①等价于，故整数的最大值为2．