Question

已知函数f(x)=sin

x

2

+

3

cos

x

2

，x∈R．
（1）化简f（x），并求它的周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）该函数的图象经过怎样的变换可以得到y=sinx（x∈R）的图象．

Answer 1

分析：（1）逆用两角和的正弦公式化简得出f（x）=2sin(

x

2

+

π

3

)．
（2）将

x

2

+

π

3

视为整体，利用正弦函数的单调性求出单调增区间．
（3）逆向思维解决，将由y=sinx（x∈R）的图象得出y=2sin(

x

2

+

π

3

)图象的过程逐步逆回即可．

解答：解：（1）f(x)=2(

1

2

sin

x

2

+

3

2

cos

x

2

)=2sin(

x

2

+

π

3

)，
∴T=

2π

1 2

=4π．
（2）由2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
得4kπ-

5π

3

≤x≤4kπ+

π

3

，k∈Z
∴f(x)的增区间为[4kπ-

5π

3

，4kπ+

π

3

]，k∈Z
（3）将y=2sin(

x

2

+

π

3

)图象上各点的纵坐标缩小为原来的

1

2

倍，横坐标不变得到y=sin(

x

2

+

π

3

)的图象，
再将y=sin(

x

2

+

π

3

)的图象上各点的横坐标缩小到原来的

1

2

倍，纵坐标不变得到 y=sin(x+

π

3

)的图象，
再将y=sin(x+

π

3

)的图象向右平移

π

3

个单位得到y=sinx（x∈R）的图象．

点评：本题考查利用三角函数公式恒等变形转化能力，三角函数的性质，三角函数图象的平移变换，周期变换．考查逆向思维的能力．