Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证：．
（2）若x∈[0，1]，则函数y=f（x）的图象上的任意一点的切线的斜率为k，求证：成立的充要条件．

Answer 1

【答案】分析：（1）设函数y=f（x）的图象上任意不同的两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），不妨设x₁＞x₂，利用图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，推出：x₁²+（x₂-a）x₁+x₂²-ax₂+1＞0，通过两次△＜0推出-
（2）通过函数的导数就是函数y=f（x）的图象上的任意一点的切线的斜率为k，利用|k|≤1，与相互充要故选证明即可．
解答：解：（1）设函数y=f（x）的图象上任意不同的两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），
不妨设x₁＞x₂，
则，即＜1，
∴＜1
整理得：x₁²+（x₂-a）x₁+x₂²-ax₂+1＞0
∵x₁∈R
∴△=（x₂-a）²-4（x₂²-ax₂+1）＜0即3x₂²-2ax₂-a²+4＞0
∵x₂∈R
∴△=4a²-12（-a²+4）＜0即a²-3＜0
∴-
（2）k=f'（x）=-3x²+2ax，则当x∈[0，1]时，|k|≤1?-1≤-3x²+2ax≤1
?或或
解得：1≤a≤，故|k|≤1成立的充要条件是．
点评：本题考查函数的导数与切线的斜率的关系，充要条件的应用，考查转化思想，计算能力．