Question

已知y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．
（1）求f（0）的值；
（2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）值，猜想f（n）表达式并用数学归纳法证明；
（3）若f(1)≥1，求证：f(

1

2n

)＞0．

Answer 1

分析：（1）分别对x，y赋值0可求；
（2）利用f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，先分别求f（2），f（3），f（4）值，猜想f（n）=n²，进而进行证明；
（3）先求得f(

1

2

)=

a

2

-

1

4

，再令x=y=(

1

2

)n+1，从而构建等比数列，最后求和可证．

解答：解：（1）令x=y=0，则f（0）=0；
（2）f（2）=4，f（3）=9，f（4）=16，猜想f（n）=n²，
①当n=1时，显然成立； 
②设n=k时成立，即f（k）=k²，则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=（k+1）²即=k+1时，成立
综上知f（n）=n²，成立
（3）设f(1)=a(a≥1)，由f(1)=f(

1

2

+

1

2

)=2f(

1

2

)+2×

1

2

×

1

2

，得f(

1

2

)=

a

2

-

1

4

令x=y=(

1

2

)n+1，则f(

1

2n

)=f(

1

2n+1

+

1

2n+1

)=2f(

1

2n

)+2•

1

22n+2

变形为：f(

1

2n

)-

1

4n

=2[f(

1

2n+1

-

1

4n+1

]，因此数列{f(

1

2n

)-

1

4n

}是等比数列，
首项为f(

1

21

)-

1

4

=

a-1

2

，公比为2，∴f(

1

2n

)-

1

4n

=(

a-1

2

)•(

1

2

)n-1
∴f(

1

2n

)=(

a-1

2

)•(

1

2

)n-1+

1

4n

≥

1

4n

＞0

点评：本题是中档题，考查数学归纳法的证明方法，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．