Question

已知数列{a_n}满足an=

n，n=2k-1，k∈N* ak，n=2k，k∈N*

，记Sn=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n．
（1）求a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆．；
（2）证明S_n=4^n-1+S_n-1（n≥2）；
（3）求S_n，并证明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1-

1

4n

．

Answer 1

分析：（1）根据数列各项的定义求出各项的值是解决本题的关键，注意分段函数给出数列通项公式的理解和认识；
（2）利用数列各项的值给出数列求和的方法，注意分组求和方法的运用，探究出数列的前n项和满足的关系式达到证明该题的目的；
（3）根据（2）中得到的数列的前n项和满足的递推关系式探求出前n项和的公式是解决本题的关键，利用放缩法达到证明该题的目的．

解答：解：（1）a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=a₁+a₁+a₃+a₂+a₅+a₃=a₁+a₁+2a₃+a₁+a₅=3a₁+2a₃+a₅=3×1+2×3+5=14．
（2）Sn=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n
=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2+a4+a6+…+a2n)
=【1+3+5+…+(2n-1)】+(a2+a4+a6+…+a2n)
=

2n-1

2

【1+(2n-1)】+(a2+a4+a6+…+a2n)
=4n-1+(a1+a2+a3+…+a2n-1)=4n-1+Sn-1．
（3）由（2）可知S_n=4^n-1+S_n-1（n≥2）；即S_n^-S_n-1=4^n-1（n≥2）；从而
S_n=（S_n^-S_n-1）+（S_{n-1 ^-}S_n-2）+（S_n-2^-S_n-3）+…+（S_2^-S₁）+S_1⁼4^n-1+4^n-2₊4^n-3+…+4+2=

4(1-4n-1)

1-4

+2=

1

3

(4n+2)，
所以

1

Sn

=

3

4n+2

＜

3

4n

，故

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜3×(

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

)=1-

1

4n

．

点评：本题考查数列通项公式的认识和理解，考查数列求通项和求和的方法，考查数列的递推关系求通项的方法，考查学生的转化与化归的思想，分组求和的思想，放缩转化通项的方法实现不等式证明的解决．