Question

3．如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=4，点D在边BC上，∠BAD=30°，则sin∠CAD的值为$\frac{3\sqrt{5}+1}{8}$．

Answer 1

分析 利用已知由余弦定理可求cos∠BAC的值，可求sin$∠BAC=\frac{\sqrt{15}}{4}$，利用两角差的正弦函数公式即可求sin∠CAD=sin（∠BAC-∠BAD）的值．

解答 解：∵AB=3，AC=2，BC=4，
∴由余弦定理可得：cos∠BAC=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{9+4-16}{2×3×2}$=-$\frac{1}{4}$，
∴知sin$∠BAC=\frac{\sqrt{15}}{4}$，sin∠CAD=sin（∠BAC-∠BAD）=$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{1}{4}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}+1}{8}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{5}+1}{8}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，两角差的正弦函数公式的综合应用，属于基本知识的考查．