Question

正三棱锥S-ABC的侧棱长为2，侧面等腰三角形的顶角为30°，过底面顶点作截面△AMN交侧棱SB、SC分别于M、N两点，则△AMN周长的最小值是

 

．

Answer 1

分析：沿着侧棱SA把正三棱锥展开在同一个平面内，原来的点A被分到两处A、A^′，则线段 AA^′ 的长度即为△AMN周长的最小值．利用勾股定理求出线段 AA^′ 的长度．

解答：解：沿着侧棱SA把正三棱锥展开在同一个平面内，原来的点A被分到两处A、A^′，
则线段 AA^′ 的长度即为△AMN周长的最小值．
△S AA^′ 中，SA=SA^′=2，∠ASA^′=3×30°=90°，
∴AA^′=

SA2+SA′2

=

4+4

=2

2

，
故答案为2

2

．

点评：本题考查棱锥的展开图的性质，勾股定理得应用，体现了转化的数学思想．