Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为，，点，是椭圆的左右顶点，点是椭圆上一动点，的周长为6，且直线，的斜率之积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若、为椭圆上位于轴同侧的两点，且，求四边形面积的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）根据题意，得到，，再由，求出，，即可得出椭圆方程；

（2）由得，延长交椭圆于点，设，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，弦长公式，以及三角形面积公式，得到四边形的面积，令，，得到，进而可得出结果.

（1）∵的周长为6，∴，即，①

设，因为点，是椭圆的左右顶点，则，，

因为直线，的斜率之积为，

所以，即，

又，所以，所以②

联立①②及，解得，，．

∴椭圆的方程为；

（2）∵，∴，

延长交椭圆于点，设，，

由（1）知，，直线的方程为，

联立，得．

∴，．

由对称性可知，，设与的距离为，

则四边形的面积

．

∴

．

令，．

∴．

易知：在上单调递减，∴．

故四边形面积的取值范围为．