Question

【题目】已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点在抛物线上，直线与抛物线交于另一点.

（1）设直线，的斜率分别为，，求证：常数；

（2）①设的内切圆圆心为的半径为，试用表示点的横坐标；

②当的内切圆的面积为时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②.

【解析】

（1）设过的直线交抛物线于，，联立，利用直线的斜率公式和韦达定理表示出，化简即可；

（2）由（1）知点在轴上，故，设出直线方程，求出交点坐标，因为内心到三角形各边的距离相等且均为内切圆半径，列出方程组求解即可.

（1）设过的直线交抛物线于，，

联立方程组，得：.

于是，有：

，

又，

；

（2）①由（1）知点在轴上，故，联立的直线方程：.

，又点在抛物线上，得，

又，

；

②由题得，

（解法一）

所以直线的方程为

（解法二）

设内切圆半径为，则.设直线的斜率为，则：

直线的方程为：代入直线的直线方程，

可得

于是有：

得，

又由（1）可设内切圆的圆心为则，

即：，解得：

所以，直线的方程为：.