题目内容
（2010•河东区一模）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（2）=0，当x＞0时有
＜0，则不等式x2•f（x）＞0的解集是（ ）
| x•f′(x)-f(x) |
| x2 |
分析：首先根据商函数求导法则，把
＜0化为[
]′＜0；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=
在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（-∞，0）内的正负性．则x2f（x）＞0?f（x）＞0的解集即可求得．
| xf′(x)-f(x) |
| x2 |
| f(x) |
| x |
| f(x) |
| x |
解答：解：因为当x＞0时，有
＜0恒成立，即[
]′＜0恒成立，
所以
在（0，+∞）内单调递减．
因为f（2）=0，
所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以在（-∞，-2）内恒有f（x）＞0；在（-2，0）内恒有f（x）＜0．
又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
所以答案为（-∞，-2）∪（0，2）．
故选B．
| xf′(x)-f(x) |
| x2 |
| f(x) |
| x |
所以
| f(x) |
| x |
因为f（2）=0，
所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以在（-∞，-2）内恒有f（x）＞0；在（-2，0）内恒有f（x）＜0．
又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
所以答案为（-∞，-2）∪（0，2）．
故选B．
点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征．
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