Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

p

=（sinA，b+c），

q

=（a-c，sinC-sinB），满足

p

⊥

q

，则角B=（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  3

• C、

  2π

  3

• D、

  5π

  6

Answer 1

分析：由题意可得

p

 •

q

=0，应用正弦定理、余弦定理 可得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，又 0＜B＜π，可得
B=

π

3

．

解答：解：由题意可得

p

 •

q

=（a-c）sinA+（b+c）（sinC-sinB）=2r[sin²A-sinAsinC]
+2r[sinB sinC-sin²B+sin²C-sinCsinB]=2r[sin²A+sin²C-sin²B-sinAsinC]=0．
∴sin²A+sin²C-sin²B=sinAsinC，∴a²+c²-b²=ac．
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，又 0＜B＜π，B=

π

3

，
故选 B．

点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，正弦定理、余弦定理的应用，得到 cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，是解题的关键．