已知函数f(x)=|x-a|-9x+a.x∈[1.6].a∈R．的单调区间.并指出单调性,在[1.a]上单调.且存在x0∈[1.a]使f(x0)＞-2成立.求a的取值范围,时.求函数f(x)的最大值的表达式M(a)．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知函数f(x)=|x-a|-

+a，x∈[1，6]，a∈R．
（1）若a=6，写出函数f（x）的单调区间，并指出单调性；
（2）若函数f（x）在[1，a]上单调，且存在x₀∈[1，a]使f（x₀）＞-2成立，求a的取值范围；
（3）当a∈（1，6）时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）．

分析：（1）当a=6时，由x∈[1，6]，化简f（x），用单调性定义讨论f（x）的增减性；
（2）当x∈[1，a]时，化简f（x），由（1）知，x∈[1，3）时，f（x）单调增，即a∈（1，3]时，f（x）在[1，a]上单调增，由题意f（x）_max＞-2，求得a的取值范围；
（3）由1＜a＜6，将f（x）化为f（x）=

2a-x-

…(1≤x≤a)

…(a＜x≤6)

，分1＜a≤3与3＜a＜6讨论函数的单调性，从而求得f（x）的最大值M（a）．

解答：解：（1）当a=6时，∵x∈[1，6]，∴f（x）=a-x-

+a=2a-x-

；任取x₁，x₂∈[1，6]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（2a-x₁-

）-（2a-x₂-

）=（x₂-x₁）+（

）=（x₂-x₁）•

x1x2-9

x1x2

，
当1≤x₁＜x₂＜3时，x₂-x₁＞0，1＜x₁x₂＜9，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）是增函数，增区间是[1，3）；
当3≤x₁＜x₂≤6时，x₂-x₁＞0，x₁x₂＞9，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）是减函数，减区间是[3，6]；
（2）当x∈[1，a]时，f（x）=a-x-

+a=-x-

+2a；
由（1）知，当x∈[1，3）时，f（x）是增函数，当x∈[3，6]时，f（x）是减函数；
∴当a∈（1，3]时，f（x）在[1，a]上是增函数；
且存在x₀∈[1，a]使f（x₀）＞-2成立，
∴f（x）_max=f（a）=a-

＞-2，
解得a＞

-1；
综上，a的取值范围是{a|

-1＜a≤3}．
（3）∵a∈（1，6），∴f（x）=

2a-x-

…(1≤x≤a)

…(a＜x≤6)

，
①当1＜a≤3时，f（x）在[1，a]上是增函数，在[a，6]上也是增函数，
∴当x=6时，f（x）取得最大值

．
②当3＜a＜6时，f（x）在[1，3]上是增函数，在[3，a]上是减函数，在[a，6]上是增函数，
而f（3）=2a-6，f（6）=

，
当3＜a≤

时，2a-6≤