Question

已知幂函数f（x）=（m∈Z）的图象关于y轴对称且与x轴、y轴无交点.

（1）求函数f（x）的解析式，并画出它的图象；

（2）讨论函数g（x）=的奇偶性（a、b∈R）.

Answer 1

解析：求解本题的关键是先确定m的值，写出f（x）的解析式，再把f（x）代入g（x），判断g（x）的奇偶性.

解：（1）由幂函数的图象与x、y轴无公共点，∴m²-2m-3＜0，即-1＜m＜3.

    又m∈Z，得m=0，1，2.又幂函数的图象关于y轴对称，∴它是偶函数.

    把m=0，1，2分别代入得f（x）=x^-3，f（x）=x^-4，f（x）=x^-3，

    只有f（x）=x^-4符合条件，故m只能取1,∴f（x）=x^-4.

    其图象如下图所示.

（2）把f（x）=x^-4代入g（x）的解析式，得

g（x）=a--bx³（x≠0），g（-x）=-b(-x)³=+bx³，

∴当a≠0，b≠0时，g（x）为非奇非偶函数；

    当a=0，b≠0时，g（x）为奇函数；

    当a≠0，b=0时，g（x）为偶函数；

    当a=b=0时，g（x）既为奇函数又为偶函数.