Question

数列{a_n}的通项a_n=n²（cos²

nπ

3

-sin²

nπ

3

），其前n项和为S_3n．
（1）求S_3n．
（2）b_n=

S3n

n•4n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由cos² 

nπ

3

-sin² 

nπ

3

=cos

2nπ

3

及等差数列的求和公式可求得S_3k，从而可得S_3n．
（2）利用错位相减法可求得T_n；

解答：解：（1）由于cos² 

nπ

3

-sin² 

nπ

3

=cos

2nπ

3

，
故S_3k=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a_3k-2+a_3k-1+a_3k）
=（-

12+22

2

+3²）+（-

42+52

2

+6²）+…+[-

(3k-2)2+(3k-1)2

2

+（3k）²]
=

13

2

+

31

2

+…+

18k-5

2

=

k(9k+4)

2

，
∴S3n=

n(9n+4)

2

；
（2）b_n=

S3n

n•4n

=

9n+4

2•4n

，
则T_n=

1

2

（

13

4

+

22

42

+…+

9n+4

4n

），4T_n=

1

2

（13+

22

4

+…+

9n+4

4n-1

），
两式相减得，3T_n=

1

2

（13+

9

4

+…+

9

4n-1

-

9n+4

4n

）=

1

2

（13+

9 4 - 9 4n

1- 1 4

-

9n+4

4n

）=8-

1

22n-3

-

9n

22n+1

，
故T_n=

8

3

-

1

3•22n-3

-

3n

22n+1

．

点评：本题考查数列求和，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．