题目内容
已知数列{an}满足：{
}是公差为1的等差数列，且an+1=
an+1．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）求证：
+
+…+
＜2．
| an |
| n |
| n+2 |
| n |
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）求证：
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
分析：（1）由于 {
}是公差为1的等差数列，可得
-
=1，又an+1=
an+1，化简可求数列{an}的通项公式an；
（2）由an=n2，知
+
+…+
＜2等价于
+
+…+
＜2，用数学归纳法证明．
| an |
| n |
| an+1 |
| n+1 |
| an |
| n |
| n+2 |
| n |
（2）由an=n2，知
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 |
| 2 |
| 1 | ||
3
|
| 1 | ||
(n+1)
|
解答：解：（1）∵{
}是公差为1的等差数列，
∴
-
=1，
∵an+1=
an+1，
∴an=n2；
（2）∵an=n2，
∴
=
，
用数学归纳法证明
+
+…+
＜2．
①n=1时，
=
＜2，成立；
②假设n=k时，成立，即
+
+…+
＜2，
当n=k+1时，
+
+…+
+
＜2也成立．
由①②知，
+
+…+
＜2．
| an |
| n |
∴
| an+1 |
| n+1 |
| an |
| n |
∵an+1=
| n+2 |
| n |
∴an=n2；
（2）∵an=n2，
∴
| 1 | ||
|
| 1 | ||
(n+1)
|
用数学归纳法证明
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
①n=1时，
| 1 | ||
|
| 1 |
| 2 |
②假设n=k时，成立，即
| 1 |
| 2 |
| 1 | ||
3
|
| 1 | ||
(k+1)
|
当n=k+1时，
| 1 |
| 2 |
| 1 | ||
3
|
| 1 | ||
(k+1)
|
| 1 | ||
(k+2)
|
由①②知，
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
点评：本题考查数列和不等式的综合，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，注意数学归纳法的合理运用．
练习册系列答案
新编小学单元自测题系列答案
字词句段篇系列答案
相关题目