Question

已知：数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求：a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求：数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足b_n=na_n，（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-n，
令n=1，解得a₁=1；
令n=2，解得a₂=3 …（2分）
（Ⅱ）∵S_n=2a_n-n，
所以S_n-1=2a_n-1-（n-1），（n≥2）
两式相减得 a_n=2a_n-1+1 …（4分）
所以a_n+1=2（a_n-1+1），（n≥2）…（5分）
又因为a₁+1=2
所以数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列 …（6分）
所以，即通项公式 …（7分）
（Ⅲ）∵b_n=na_n，
所以
所以+…+（n•2ⁿ-n）
…（9分）
令 ①
②
①-②得
= …（11分）
∴=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹ …（12分）
所以 …（13分）
分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-n，分别令n=1，2可求a₁，a₂，
（Ⅱ）由S_n=2a_n-n，可知S_n-1=2a_n-1-（n-1），（n≥2），两式相减可得 a_n与a_n-1的关系，构造等比数列即可求解a_n+1，然后求出a_n
（Ⅲ）由b_n=na_n，结合 数列的特点可利用分组求和，然后利用等差数列的求和及错位相减求和即可
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式，分组求和方法及错位相减求和方法的综合应用．