Question

从装有大小相同的3个白球和3个红球的袋中做摸球试验，每次摸出一个球．如果摸出白球，则另从袋外取一个红球替换该白球放回袋中，继续做下一次摸球试验；如果摸出红球，则结束摸球试验．
（Ⅰ）求一次摸球后结束试验的概率P₁与两次摸球后结束试验的概率P₂；
（Ⅱ）记结束试验时的摸球次数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）一次摸球后结束试验，即摸出红球；两次摸球后结束试验，即先摸出白球，再摸出红球，故可求概率；
（Ⅱ）确定结束试验时的摸球次数为ξ的可能取值，求出概率，即可求ξ的分布列及其数学期望Eξ．

解答：解：（Ⅰ）一次摸球结束试验，即摸出红球，故概率P1=

3

6

=

1

2

；
二次摸球结束试验，先摸出白球，再摸出红球故概率P₂=

3

6

×

4

6

=

1

3

；　　        
（Ⅱ）依题意得：ξ的所有可能值有1，2，3，4
P(ξ=1)=

1

2

，P(ξ=2)=

1

3

，
P(ξ=3)=

3

6

×

2

6

×

5

6

=

5

36

； P(ξ=4)=

3

6

×

2

6

×

1

6

×

6

6

=

1

36

；      

ξ	1	2	3	4
P	1 2	1 3	5 36	1 36

∴Eξ=1×

1

2

+2×

1

3

+3×

5

36

+4×

1

36

=

61

36

．

点评：本题考查古典概型互斥事件和独立事件的概率，随机变量的分布列及数学期望等知识与方法；考查运算求解能力以及应用概率知识分析解决问题的能力；考查必然与或然思想．