Question

已知抛物线C的顶点是椭圆的中心，且焦点与该椭圆右焦点重合．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若P（a，0）为x轴上一动点，过P点作直线交抛物线C于A、B两点．
（ⅰ）设S_△AOB=t•tan∠AOB，试问：当a为何值时，t取得最小值，并求此最小值．
（ⅱ）若a=-1，点A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过定点．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意，设抛物线C的标准方程为y²=2px（x＞0），焦点F（，0），由椭圆的右焦点为（1，0），知p=2，由此能求出抛物线方程．
（Ⅱ）（ⅰ）设直线AB：my=x-a．联立，得=0，由此能推导出当a=2时，t有最小值一2．
（ⅱ）由（ⅰ）知D（x₁，-y₁），y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，直线BD的方程为，由此能导出直线BD过定点（1，0）．
解答：解：（Ⅰ）由题意，设抛物线C的标准方程为y²=2px（x＞0），焦点F（，0），
∵椭圆的右焦点为（1，0），
∴，即p=2，
∴抛物线方程为：y²=4x，…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）设直线AB：my=x-a．
联立，消x得=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁y₂=-4a，，…（6分）
由S_△AOB=
=，
∴，
∵，…（8分）
∴，
∴当a=2时，t有最小值一2．…（10分）
（ⅱ）由（ⅰ）可知D（x₁，-y₁），y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，
直线BD的方程为y-y₂=，
即
y=
∴y=，
∴直线BD过定点（1，0）．…（14分）
点评：本题考查抛物线方程的求法，考查最小值的求法，考查直线过定点的判断，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．