Question

已知圆C过点P（1，1）且与圆M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称，作斜率为1的直线l与圆C交于A，B两点，且点P（1，1）在直线l的左上方．
（1）求圆C的方程．
（2）证明：△PAB的内切圆的圆心在定直线x=1上．
（3）若∠APB=60°，求△PAB的面积．

Answer 1

分析：（1）设圆心C的坐标为（a，b），由圆M的方程找出M的坐标，根据圆C与圆M关于直线x+y+2=0对称，利用线段中点坐标公式表示出线段MC的中点坐标，代入直线x+y+2=0中，得到关于a与b的方程，记作①，再求出直线x+y+2=0的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，求出直线MC的斜率，根据M和C的坐标列出关于a与b的令一个方程，记作②，联立①②组成方程组，求出方程组的解集得到a与b的值，确定出点C的坐标，由圆C经过P，利用两点间的距离公式求出|CP|的长，即为圆C的半径，由圆心和半径写出圆C的标准方程即可；
（2）设直线AB的方程为y=x+m，并设出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线AB与圆C的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出x₁+x₂与x₁x₂，由P，A及B的坐标，利用求直线斜率的方法表示出k_PA+k_PB，将其中的y₁与y₂分别换为x₁+m，x₂+m，整理化简后得到其中为0，可得∠APB的平分线为垂直于x轴的直线，由P的横坐标为1，得到三角形内切圆的圆心必然在直线x=1上，得证；
（3）由∠APB=60°，得到直线BP的倾斜角，根据直线倾斜角与斜率的关系得到直线BP的斜率，由（2）中两斜率之和为0，求出直线AP的斜率，可得出直线AP的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线AP的距离，即为弦心距，由圆的半径，弦心距，利用勾股定理求出弦长的一半，即可得到AP的长，同理求出PB的长，由PA，PB及sin∠APB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形APB的面积．

解答：解：（1）设圆心C（a，b），由题意得到圆M坐标为（-2，-2），
又圆C与圆M关于直线x+y+2=0对称，
∴

a-2

2

+

b-2

2

+2=0①，…（2分）
又直线x+y+2=0的斜率为-1，
∴直线CM的斜率为1，即

b+2

a+2

=1②，
联立①②解得：a=b=0，
∴圆心C坐标为（0，0），又P（1，1）在圆C上，
半径r²=（0-1）²+（0-1）²=2，
∴圆C的方程为x²+y²=2…（4分）
（2）设直线AB的方程为：y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2+y2=2 y=x+m

，消去y得：2x²+2mx+m²-2=0，
∴x₁+x₂=-m，x₁x₂=

m2-2

2

，
∴k_PA+k_PB=

y1-1

x1-1

+

y2-1

x2-1

=

x1-1+m

x1-1

+

x2-1+m

x2-1

=2+

m

x1-1

+

m

x2-1

=2+

m(x1+x2-2)

x1x2-(x1+x2)+1

=2+

m(-m-2)

m2-2 2 +m+1

=2-

2(m2+2m)

m2+2m

=0，
即k_PA+k_PB=0，
∴∠APB的平分线为垂直于x轴的直线，又P（1，1），
则△PAB的内切圆的圆心在直线x=1上；…（10分）
（3）若∠APB=60°，结合（2）可知：kPA=

3

，kPB=-

3

，…（11分）
直线PA的方程为：

3

x-y+1-

3

=0，
圆心O到直线PA的距离d=

3 -1

2

，
∴PA=2

2-d2

=2

2-( 3 -1 2 )2

=

3

+1，…（13分）
同理可得：PB=

3

-1，…（15分）
∴S_△PAB=

1

2

PA•PB•sin60°=

3

2

．…（16分）

点评：此题考查了关于直线对称的圆的方程，直线与圆相交的性质，韦达定理，垂径定理，勾股定理，关于直线对称的直线方程，直线的点斜式方程，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，是一道综合性较强的题，要求学生掌握知识要灵活全面．