Question

已知函数f(x)=

1

2

sin2xsinθ+cos2xcosθ-

1

2

sin(

π

2

+θ)(0＜θ＜π)，其图象经过点（

π

6

，

1

2

）
（1）求f（θ）的值
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）=k在[0，

π

4

]上只有唯一解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直接对原函数化简整理，再把点（

π

6

，

1

2

）的坐标代入求出θ即可求f（θ）的值；
（2）先根据图象的平移变换规律求出函数y=g（x）的解析式，再根据x的范围画出图象，结合图象即可求出实数k的取值范围．

解答：解：（1）因为f(x)=

1

2

sin2xsinθ+

1+cos2x

2

cosθ-

1

2

cosθ=

1

2

(sin2xsinθ+cos2xcosθ)
=

1

2

cos(2x-θ)…（3分）
由f(

π

6

)=

1

2

得cos(

π

3

-θ)=1
∴

π

3

-θ=2kπ又θ∈（0，π），
∴θ=

π

3

…（5分）
∴f(θ)=

1

2

cosθ=

1

4

…（6分）
（2）因为函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变，
得到函数y=g（x）=

1

2

cos（4x-

π

3

）…（8分）
当x∈[0，

π

4

]时，4x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
作出y=

1

2

cost在t∈[-

π

3

，

2π

3

]的图象，
结合图形知k=

1

2

或-

1

4

＜k＜

1

4

．…（12分）

点评：本题主要考查三角函数的图象变换以及三角函数式的整理化简．在整理三角函数式时，要牢记公式，并会对公式熟练使用．