Question

已知椭圆的左右焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），点Q是椭圆外的动点，满足||=2a，点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，曲线C的方程是x²+y²=a²
（1）若点P的横坐标为，证明：||=a+
（2）试问：曲线C上是否存在点M，使得△F₁MF₂的面积等于S=b²？若存在，求出椭圆离心率的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定椭圆的左准线方程，利用椭圆的定义，可得，从而可得结论；
（2）利用存在点M，使得△F₁MF₂的面积等于b²，确定M的纵坐标，即可求椭圆离心率的取值范围．
解答：（1）证明：椭圆的左准线方程为
∵点P的横坐标为，
∴由椭圆的定义可知，，
∴；
（2）解：假设存在，设M（x，y），则
∵△F₁MF₂的面积等于S=b²，
∴
∴
∵M在x²+y²=a²上，
∴
∴e²+e-1≥0
∴e≥或e≤-
∵0＜e＜1
∴．
点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．