Question

设f(x)＝x²－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(辩证思想) 　　当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，也就是说在[－1，＋∞)内，f(x)的最小值都大于或等于a． 　　由题意，a≤x2－2ax＋2在[－1，＋∞)内恒成立，所以a≤[f(x)]min． 　　而f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2在[－1，＋∞)上的最小值分如下两种情况： 　　(1)a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2． 　　(2)a∈(－∞，－1)时，f(x)min＝f(－1)＝(1＋a)2＋2－a2，∴f(x)min＝2－a2，a∈[－1，＋∞)，(1＋a)2＋2－a2，a∈(－∞，－1)． 　　由a≤[f(x)]min知， 　　当a∈[－1，＋∞)时，a≤2－a2，得－2≤a≤1，所以得－1≤a≤1， 　　当a∈(－∞，－1)时，a≤(1＋a)2＋2－a2，得a≥－3，所以得－3≤a＜1，综上所述，a的取值范围为a∈[－3，1]． 　　解法二：(函数思想，数形结合思想) 　　f(x)≥ax2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，(1)Δ≤0a∈[－2，1]． 　　(2)解得a∈[－3，－2]，综上所述，a的取值范围为a∈[－3，1] 　　点评：由已知条件可见，“恒成立”三个字是该题的“题眼”，可由此来探讨有哪些具体的解答思路．